Question

设f（x）=
（1）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）．并用“五点法”画出y=g（x），x∈[0，π]的图象．
（2）若关于x的方程g（x）=k+1在[0，]内有两个不同根α、β，求α+β的值及k的取值范围．

x

Answer

（1）根据图象变换规律，可得结论，从而可得函数的图象；
（2）可在同一坐标系中画出函数y=sin（2x+）及y=的图象，借助于图象的直观性求解．
【解析】
（1）由题意，y=2sin（2x+）

x          
 2x+  0   π    2π
 y=2sin（2x+）  0  2  0 -2  0

函数图象如图所示，

（2）可在同一坐标系中画出函数y=sin（2x+）及y=的图象，借助于图象的直观性求解．
设C：y=sin，l：y=，在同一坐标系中作出它们的图象如下图．
由图易见当≤＜1时，即0≤k＜1时，直线l与曲线C有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可看出α、β关于x=对称，故α+β=．
综上可知，0≤k＜1，且α+β=．