Question

已知数列{a_n}的每一项都是正数，满足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差数列{b_n}的前n项和为T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）比较与2的大小；
（3）若＜c恒成立，求整数c的最小值．

Answer

（1）整理an+12-anan+1-2an2=0得（an+1-2an）（an+1+an）=0，进而求得an+1=2an，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而根据等比数列通项公式求得an，根据b2=3，T5=25．求得等差数列的首项和公差进而求得bn．
（2）由（1）得Tn，进而求得，先看当n=1时＜2，进而利用＜=-利用裂项法求和，进而求得++…+＜2-＜2．
（3）令Pn=++…+=+++…+．把（1）中求得的an和bn代入Pn，利用错位相减法求得Pn，进而判断Pn递增，求得Pn的范围，进而求得c的最小值．
【解析】
（1）an+12-anan+1-2an2=0
得（an+1-2an）（an+1+an）=0，
由于数列{an}的每一项都是正数，∴an+1=2an，∴an=2n．
设bn=b1+（n-1）d，由已知有b1+d=3，5b1+d=25，
解得b1=1，d=2，∴bn=2n-1．
（2）由（1）得Tn=n2，∴=，
当n=1时，=1＜2．
当n≥2时，＜=-．
∴++…+＜1+-+-++-=2-＜2．
（3）记Pn=++…+=+++…+．
∴Pn=++++，
两式相减得Pn=3-．
∵Pn递增，∴≤Pn＜3，P4=＞2，
∴最小的整数c=3．