Question

直线l：y=k（x-2）+4与曲线C：y=1+有两个交点，则k的取值范围    ．

Answer

根据直线方程的点斜式和圆的方程，可得直线l经过点A（2，4），曲线C表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆．由此作出图形，求出半圆切线的斜率和直线与半圆相交时斜率的最小值，结合图形加以观察即可得到本题答案．
【解析】
∵直线l：y=k（x-2）+4经过定点A（2，4）
曲线C：y=1+化简得x2+（y-1）2=4，
表示以（0，1）圆心半径为2的圆的上半圆
∴直线l与曲线C有两个交点，即直线与半圆相交
求得当直线与半圆相切时，斜率k=
当直线l为经过点B（-2，1）时，是斜率k的最大值，此时k=
动直线l位于切线与AB之间（包括AB）时，直线l与曲线C有两个交点，
∴k的取值范围为（，]
故答案为：（，]