①利用函数的极值和导数之间的关系进行判断.②利用函数的单调性的意义进行判断.
③利用函数的奇偶性进行求值.④利用导数的运算和对数的运算法则求值.
【解析】
①因为f′(a)=0是函数在a处取得极值的必要不充分条件,所以①错误.
②若1<a<3,则函数f(x)=ax-6在(7,+∞)为单调递增函数,f(x)=(3-a)x-3在(-∞,7]单调递增.
若函数f(x)单调递增,则7(3-a)-3<a,此时,所以当1<a时,函数不单调,所以②错误.
③若f(x)为奇函数,又f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.
所以f(1)+f(3)=f(1)+f(3-4)=f(1)+f(-1)=0,f(5)+f(7)=f(1)+f(3)=0,…
f(17)+f(19)=f(1)+f(3)=0,所以f(1)+f(3)=+…+f(19)=0.
而0=f(2)+f(-2)=f(2)+f(-2+4)=2f(2),所以f(2)=0,所以f(2)=f(6)=f(10)=f(14)=f(18)=0,
又f(4)=f(8)=f(12)=f(16)=f(20)=f(0)=0,所以f(2)+f(4)+…f(20)=0.
所以f(1)+f(3)+…f(19)=f(2)+f(4)+…f(20).所以③正确.
④函数的导数为f'(x)=(n+1)xn,所以f'(1)=n+1,f(1)=1.
所以f(x)在x=1处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).
切线与x轴的交点坐标为(xn,0),
所以,所以.
所以lgx1+lgx2+…+lgx99==.故④正确.
故答案为:③④.