Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，且a_n+1，a_n，3成等差数列，（其中n∈N^*）．
（1）求a₁-3，a₂-3，a₃-3的值；
（2）求证：数列{a_n-3}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式并求其前n项的和．

Answer

（1）由题意可得2an=an+1+3，可得a2=5，a3=7，进而可得其值；
（2）由（1）变形可得=2，可得结论；
（3）由（2）可知an-3的通项，进而可得an=2n-1+3，分别由等差，等比的求和公式可得．
【解析】
（1）由题意可得2an=an+1+3，
故可得a2=5，a3=7，
故a1-3=1，a2-3=2，a3-3=4；
（2）由（1）可得2an=an+1+3，
可得2an-6=an+1-3，即2（an-3）=an+1-3，
故可得=2，
故数列{an-3}是q=2为公比的等比数列；
（3）由（2）可知an-3=（a1-3）qn-1=2n-1，
∴an=2n-1+3，
∴Sn=（1+3）+（2+3）+（4+3）+…+（2n-1+3）
=3n+（1+2+4+…+2n-1）=3n+=3n+2n-1