Question

如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了a_n个单位，此时质点的位置为（C_n，0）．
（Ⅰ）求a_n、C_n的表达式；
（Ⅱ）当n为何值时，tan∠AC_nB取得最大，最大值为多少？

Answer

（I）确定第n分钟内，质点C运动了an=1+2（n-1）=2n-1个单位，从而可求Cn的表达式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，结合基本不等式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由条件可知，第n分钟内，质点C运动了an=1+2（n-1）=2n-1个单位，…（2分）       
所以Cn=1+3+…+（2n-1）==n2．…（4分）
（Ⅱ）∵tan∠ACnO=，tan∠BCnO=，…（6分）
∴tan∠ACnB=tan（∠ACnO-∠BCnO）==．…（8分）
≤=…（10分）
当且仅当，即n=3时，等号成立．…（11分）
∴n=3时，tan∠ACnB最大，最大值为．…（12分）