Question

如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱被平面 DEF所截而得．AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O为AB的中点．
（1）当a=4时，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值；
（2）当a为何值时，在棱DE上存在点P，使CP⊥平面DEF？

Answer

（1）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到二面角的余弦值；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定定理即可得出．
【解析】
（1）分别取AB、DF的中点O、G，连接OC、OG．
以直线OB、OC、OG分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AF=a=4，则D、E、F的坐标分别为D（1，0，1）、E（0，，3）、F（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
设平面DEF的法向量，
由得，
令z=6，则x=9，，∴．
平面ABC的法向量可以取．
∴===．
∴平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值为．
（2）在（1）的坐标系中，AF=a，=（-1，，2），=（-2，0，a-1），C．
因P在DE上，设，
则=（1，0，1）+=．
∴=．
于是CP⊥平面DEF的充要条件为，得到                                 
由此解得，，a=2．
即当a=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP⊥平面DEF．