Question

已知函数f（x）=-x（0＜x＜）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：不等式sin³x＞x³cosx在上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=在的最大值．

Answer

（Ⅰ）求出导函数f′（x），直接令x=，代入求值即可．
（Ⅱ）观察不等式与函数解析式的关系，只需证明f（x）在f（x）＞=0，．利用导数考察单调性及最值，作出证明．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin3x-x3cosx＞0在上恒成立．则g′（x）=＞0上恒成立． 即g（x）在单调递增，最大值可求．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）∵-1==…（3分）
∴…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），则
=在上恒成立
故G（x）在上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，…（8分）
所以f（x）在上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
即sin3x＞x3cosx，…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin3x-x3cosx＞0在上恒成立．
则g′（x）=＞0在上恒成立．   …（12分）
即g（x）在单调递增
于是…（14分）