Question

函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列四个结论：
①函数f（x）=tanx（x≠kπ+，k∈Z）是单函数；
②指数函数f（x）=2^x（x∈R）是单函数；
③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
上述四个结论中正确的有    ．（写出所有正确结论的序号）

Answer

由题意单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，据此可逐个判断．
【解析】
①函数f（x）=tanx（x≠kπ+，k∈Z）不是单函数，例如f（）=f（），显然不会有和相等，故为假命题；
②指数函数f（x）=2x（x∈R）是单函数，因为指数函数f（x）=2x（x∈R）是实数上的单调函数，也是一一映射函数，故为真命题；
③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）为真，
可用反证法证明：假设f（x1）=f（x2），则按定义应有x1=x2，与已知中的x1≠x2矛盾；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是，故为真．
故答案为：②③④．