Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+a+2，x∈[0，1]，
（1）求函数的最小值g（a）．
（2）当g（a）=2时，求a的值．

Answer

（1）根据二次函数f（x）=x2+ax+a+2的图象，按-≤0、0＜-＜1和-≥1三种情况，分别根据函数的单调性加以讨论，可得各种情况下函数的最小值，最后综合可得函数的最小值g（a）的表达式．
（2）在（1）的结论下，分别解关于a的方程g（a）=2，将解出的a值与大前提加以比较，即可得到当g（a）=2时，只有a=2符合题意．
【解析】
（1）∵二次函数f（x）=x2+ax+a+2的图象是开口向上的抛物线，
关于直线x=-对称
．∴当-≤0时，即a≥0时，函数在[0，1]上是增函数，
此时函数的最小值g（a）=f（0）=a+2；
当0＜-＜1时，即-2＜a＜0时，函数的最小值g（a）=f（-）=-+a+2；
当-≥1时，即a≤-2时，函数在[0，1]上是减函数，
此时函数的最小值g（a）=f（1）=2a+3
综上所述，可得 g（a）=
（2）由（1），得
①当a≤-2时，2a+3=2，解之得a=-，不符合题意
②当-2＜a＜0时，-+a+2=2，解之得a=0或4，不符合题意
③当a≥0时，a+2=2，解之得a=0
综上所述，当g（a）=2时，求a的值为0．