Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；
（3）证明f（x）在定义域上是增函数；
（3）如果，求满足不等式的x的范围．

Answer

（1）由f（x•y）=f（x）+f（y），知f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），由此能求出f（1）．
（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则＞1，故f（  ）＞0，由此导出f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（•x1）=-f（  ）＜0，从而能够证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）令x=，y=1，得f（1）=0．令x=3，y=，得f（3）=1．令x=y=3，得f（9）=2，故f（x）-f（）≥f（9），f（x）≥f（），由此能求出x的范围．
【解析】
（1）∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
则＞1，
∴f（  ）＞0，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（•x1）=f（x1）-f（ ）-f（x1）=-f（  ）＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）令x=，y=1得，f（×1）=f（）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=得，f（1）=f（3×）=f（3）+f（），
∵，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（）≥f（9），f（x）≥f（）
∴，
解得x≥1+．