Question

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，a₆=243，S_n为等差数列{b_n}的前n项和，b₁=3，S₅=35．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer

（1）根据{an}为等比数列，a1=1，a6=243，确定数列的公比q=3，利用Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=3，S5=35，可得数列的公差，从而可求{an}和{bn}的通项公式；
（2）利用错位相减法可求数列的和．
【解析】
（1）设等比数列的公比为q
∵{an}为等比数列，a1=1，a6=243，∴公比q=3，∴an=3n-1，（3分）
设等差数列{bn}的公差为d，
∵Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=3，S5=35，∴15+10d=35，∴d=2
∴bn=2n+1．                                                      （6分）
（2）Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=3×1+5×3+…+（2n-1）×3n-2+（2n+1）×3n-1①
3Tn=3×3+5×32+…+（2n-1）×3n-1+（2n+1）×3n②
①-②得：-2Tn=3+2×（3+32+…+3n-1）-（2n+1）×3n（9分）
∴Tn=n•3n（12分）