Question

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₂=a₁+2，且2a₂，a₄，3a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）利用2a2，a4，3a3成等差数列，a2=a1+2，确定数列的公比，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）确定数列{anbn}的通项，利用错位相减法，即可求数列{anbn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）因为2a2，a4，3a3成等差数列，
所以2a4=2a2+3a3，
因为{an}为等比数列，所以2a1q3=2a1q+3a1q2．
因为a1≠0，q≠0，所以2q2-3q-2=0，即（q-2）（2q+1）=0．
因为q＞0，所以q=2
因为a2=a1+2，所以2a1=a1+2，所以a1=2，
所以an=2n；
（2）bn=log2an=n，∴anbn=n•2n
∴
∴
两式相减可得=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．