Question

已知函数f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

Answer

（1）由函数是奇函数可求得b=0，然后求出函数f（x）的导函数，再由x=1时，f（x）取极小值-列关于a，c的方程组求解a，c的值；
（2）把a，b，c代入函数解析式，求出函数的导函数，分析可知在[-1，1]上不存在两个x的值，使得．
【解析】
（1）由函数f（x）=ax3-2bx2+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，可知函数f（x）为定义域上的奇函数，
所以b=0，则f（x）=ax3+3cx，f′（x）=3ax2+3c．
又当x=1时，f（x）取极小值-，
所以，解得．
所以a=，b=0，c=；
（2）由（1）得f（x）=f′（x）=x2-1
设x1，x2∈[-1，1]
若存在两点x1，x2，使得在这两点处的切线互相垂直，则
即．
因为x1，x2∈[-1，1]，所以．
所以不存在两点的切线互相垂直．