Question

已知数列{x_n}，{y_n}满足x₁=y₁=1，x₂=y₂=2，并且x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0，y_n+1-（λ+1）y_n+λy_n-1≥0（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明x_n+1-y_n+1≤x_n-y_n（n∈N^*）；
（3）设0＜λ＜1，k∈N^*，证明：（x₂-x₁）+（x₄-x₂）+（x₆-x₃）+…+（x_2k-x_k）＜．

Answer

（1）利用x1=1，x2=2，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，即可得到x3，x4，x5，再利用等比数列的定义即可得出λ的值；
（2）利用数学归纳法证明即可；
（3）由xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，可得xn+1-xn=λ（xn-xn-1），即，利用“累加求和”可得xn，再利用等比数列的前n项和公式即可得出不等式的左边，进而证明小于右边．
【解析】
（1）∵x1=1，x2=2，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，
∴x3=（λ+1）x2-λx1=2（λ+1）-λ=λ+2．
x4=（λ+1）（λ+2）-2λ=λ2+λ+2．
=λ3+λ2+λ+2．
∵x1，x3，x5成等比数列，∴，
∴（λ+2）2=1×（λ2+λ+2），解得λ=-2．
（2）下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，x2-x1=2-1=y2-y1，∴x2-y2≤x1-y1成立；
②假设当n=k时，xk+1-xk≤yk+1-yk成立，即xk+1-yk+1≤xk-yk成立．
则当n=k+1时，∵λ＞0，∴xk+2-xk+1=λ（xk+1-xk）≤λ（yk+1-yk）≤yk+2-yk+1成立，
即xk+2-yk+2≤xk+1-yk+1成立．
即命题定义n=k+1时也成立．
综上可知：命题定义任意n∈N*都成立．
（3）由xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，可得xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∴，
∴xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x3-x2）+（x2-x1）+x1
=λn-2+λn-3+…+λ+1+1=+1．（0＜λ＜1）．
∴．
∴x2k-xk=
∴左边=（x2-x1）+（x4-x2）+（x6-x3）+…+（x2k-xk）
=[（λ+λ3+…+λ2k-1）-（λ+λ2+…+λk）]
=
=
=．=右边．
故不等式成立．