Question

若方程xlg（x+2）=1的实根在区间（k，k+1）（k∈z）上，则 k=（ ）
A．-2
B．1
C．-2或1
D．0

Answer

依据方程的根与零点的对应关系转化为函数的零点来证明，可构造函数f（x）=xlg（x+2）-1，由零点的存在性定理验证．
【解析】
由于方程xlg（x+2）=1即方程lg（x+2）=，分别作出左右两边函数的图象，
从图象上可得出：方程xlg（x+2）=1在区间（-2，-1）和（1，2）内各有一个实根．
下面证明：方程xlg（x+2）=1在区间（-2，-1）和（1，2）内各有一个实根⇔函数f（x）=xlg（x+2）-1，在区间（-2，-1）和（1，2）内各有一个零点
函数f（x）=xlg（x+2）-1在区间（1，2）是增函数，
又f（1）=lg3-1＜0，f（2）=2lg4-1＞0，
即f（1）×f（2）＜0
由零点存在性定理知，函数f（x）=xlg（x+2）-1在区间（1，2）内仅有一个零点
即方程xlg（x+2）=1在区间（1，2）内有且仅有一个实根，
同理得方程xlg（x+2）=1在区间（-2，-1）内有且仅有一个实根，
故选C．