Question

已知函数f（x）=lnx+（x-a）²，a为常数．
（1）若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．

Answer

（1）求函数的定义域，利用导数研究函数的极值和单调区间．
（2）利用f（x）存在极值，求a的取值范围．
【解析】
（1）∵，
∵x=1时，f（x）取得极值，f'（1）=0，3-2a=0，…（2分）
，f'（x）＞0⇔2x2-3x+1＞0（x＞0）x＞1或，
f（x）的单调增区间为、（1，+∞）…（4分）
（2））∵，令f'（x）=0
则2x2-2ax+1=0在（0，+∞）上有解，但没有等根．△=4a2-8=4（a2-2）
当时，△＜0，则2x2-2ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
当时，，方程的根，时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上无极值．
同理当时，f（x）在（0，+∞）上无极值．
当或时，△＞0，方程有二个解，，且x1+x2=a，
当时，x1+x2＜0，x1x2＞0，x1，x2均为负根
∴x∈（0，+∞）有f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）无极值点．
当时x1+x2＞0，x1•x2＞0，∴x1•x2∈（0，+∞）

x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f（x） + - +
f′（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

∴f（x）在x1处有极大值，在x2处有极小值．
∴a的取值范围是…（8分）
∵=
∵x1≠x2，∴…（12分）