Question

（1）已知=（2x-y+1，x+y-2），=（2，-2），①当x、y为何值时，与共线？②是否存在实数x、y，使得⊥，且||=||？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．
（2）设和是两个单位向量，其夹角是90°，，若，求实数k的值．

Answer

（1）①由与共线，可得存在非零实数λ使得=λ，从而可得结论；
②由⊥得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0，由||=||得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8，从而可得结论；
（2）利用向量的数量积公式，即可求实数k的值．
【解析】
（1）①∵与共线，
∴存在非零实数λ使得=λ，
∴
∴x=，y∈R；
②由⊥得，（2x-y+1）×2+（x+y-2）×（-2）=0
所以x-2y+3=0．（i）
由||=||得，（2x-y+1）2+（x+y-2）2=8．（ii）
解（i）（ii）得或；
（2）由题意，，①，②
③…（10分）
∵，
∴，得，
将①②③代入得：k2+5k-1=0，…（12分）
解得…（14分）