Question

已知函数f（x）=asin（x+）+a+b．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a、b的值．

Answer

（1）求得f（x）=sin（x+）+1+b，令2kπ-≤x+≤2kπ+，求得x的范围，可得f（x）的单调
递增区间．
（2）由（1）得f（x）=asin（x+）+a+b，由x∈[0，π]，可得-≤sin（x+）≤1．显然a≠0，
分①当a＞0时和②当a＜0时 两种情况，分别根据f（x）的值域，求得a、b的值．
【解析】
（1）∵a=1，∴f（x）=sin（x+）+1+b，
∵y=sinx的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]（k∈Z），
∴当2kπ-≤x+≤2kπ+，…（4分）
即2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）时，f（x）是增函数，
故f（x）的单调递增区间是[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）． …（6分）
（2）由（1）得f（x）=asin（x+）+a+b，
∵x∈[0，π]，∴≤x+≤，∴-≤sin（x+）≤1．…（8分）
显然a≠0，①当a＞0时，，∴，
而f（x）的值域是[3，4]，故∴，
解得：；…（11分）
②当a＜0时，，a+a+b≤f（x）≤b，而f（x）的值域是[3，4]，
故有，a+a+b=3，且b=4，解得a=1-，b=4．
综上可得，；或a=1-，b=4．