Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，且AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB．
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）求证：FG⊥AC；
（3）当PA长度为多少时，FG⊥平面ACE？

Answer

（1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质证明．
（2）利用线面垂直的性质证明．（3）利用线面垂直的判定定理求值．
【解析】
（1）连接CG交AP于M点，连接BM．
∵，
∴FG∥BM，
又BM⊂平面PAB，FG⊄平面PAB
∴FG∥平面PAB．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A．
∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM，
∵FG∥BM，∴FG⊥AC．
（3）连结EM，由（2）知FG⊥AC，若FG⊥平面ACE，
则FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=，
设EA∩BM=H，则EH=，
设PA=a，则EA=，EH=．
因为Rt△AME～Rt△MHE，
所以EM2=EH•EA，
即，解得a=．
即PA=时，FG⊥平面ACE．