Question

已知函数f（x）=sin²x-cos²x+3sinx-1；
（1）求f（x）的值域；
（2）求不等式f（x）≥0的解集．

Answer

（1）将三角函数整理，得到，再由正弦函数的值域得到函数f（x）的值域；
（2）将不等式整理得到（2sinx-1）•（sinx+2）≥0，由于sinx+2＞0，
故原不等式的解集即是2sinx-1≥0的解集，解出即可．
解（1）f（x）=sin2x-cos2x+3sinx-1=sin2x-（1-sin2x）+3sinx-1…（1分）
=2sin2x+3sinx-2=…（2分）
∵sinx∈[-1，1]，当sinx=1时，ymax=2+3-2=3…（3分）
当时，…（4分）
所以函数f（x）的值域为…（6分）
（2）由于f（x）≥0，即2sin2x+3sinx-2≥0
则（2sinx-1）•（sinx+2）≥0…（7分）
∵sinx∈[-1，1]，∴sinx+2＞0，…（8分）
∴2sinx-1≥0即…（9分）
∴，…（11分）
∴x的取值范围是…（12分）