Question

已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，
（1）设x，y∈（0，+∞），求证；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），若f（x₁）＜f（x₂），试比较x₁与x₂的大小；
（3）解关于x的不等式f（x²-2x+1）＞0．

Answer

（1）取y=，代入已知等式即可证得结果；
（2）由f（x1）＜f（x2），结合（1）中等式，得到，再根据当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立得到，从而得到x1＞x2；
（3）在已知等式中取特值x=y=1求出f（1）=0，由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，在不等式f（x2-2x+1）＞0中，用f（1）替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求．
（1）证明：∵f（xy）=f（x）+f（y），∴，
∴；
（2）【解析】
∵f（x1）＜f（x2），∴f（x1）-f（x2）＜0，
又，所以
∵当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，∴当f（x）＜0时，x＞1，
∴，x1＞x2
（3）【解析】
令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
∴f（x2-2x+1）＞0⇔f（x2-2x+1）＞f（1），
由（2）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数，
∴0＜x2-2x+1＜1，
解得0＜x＜2且x≠1，
∴不等式解集为（0，1）∪（1，2）