Question

已知数列{x_n}是公差不为0的等差数列，{y_n}是等比数列，其中x₁=1，且x₁=y₁，x₂=y₂，x₆=y₃，是否存在常实数a和b，使得对于一切n∈N^*，都有x_n=log_ay_n+b？若存在，求出a和b的值；若不存在，试说明理由．

Answer

利用条件求出等差数列的公差和等比数列的公比，然后由xn=logayn+b，能否求出a，b的值．
【解析】
设公差为d，公比为q．
则由题意得，即d2=3d，因为差不为0，所以d=3，q=4．
所以xn=1+3（n-1）=3n-2，，
假设存在常实数a和b，使得对于一切n∈N*，都有xn=logayn+b，
则+b=nloga4+b-loga4，
所以必有，解得b=1，a=，
所以存在实数a和b，使得对于一切n∈N*，都有xn=logayn+b．