Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0），设关于x的方程f（x）=0的两实数根为x₁，x₂，f（x）=x的两实根为α，β，且|α-β|=1．
（1）若a，b均为负整数，求f（x）解析式；
（2）若α＜1＜β，求（x₁+a）（x₂+a）的取值范围．

Answer

（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．
根据a、b均为负整数，从而求出f（x）解析式．
（2）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+a）（x2+a），讨论a，b的关系可得（x1+a）（x2+a）的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=x，
∴ax2+4x+b=x，由题意知，
∴a2+4ab-9=0；
∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2
（2）令g（x）=ax2+3x+b，
由于关于x的方程f（x）=0的两实数根为x1，x2，则
所以（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2= 
=
由α＜1＜β，且|α-β|=1得，0＜α＜1＜β＜2，
所以
解得-3＜a＜-1，即1＜a2＜9，
由函数y（t）=在（0，）上单调递减，在单调递增，
而t=a2∈（1，9），则y（t）∈[3，），故所求取值范围为[-，5）