Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，E是PD的中点；
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；    
（Ⅱ）求证：BD⊥PC．

Answer

（Ⅰ）取AC与BD的交点为O，连EO，利用EO为三角形PBD的中位线和线面平行的判定定理即可证得PB∥平面ACE；
（Ⅱ）易证BD⊥平面PAC，利用直线与平面垂直的性质即可证得BD⊥PC．
证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，取AC与BD的交点为O，又E是PD的中点，连EO，

则EOPB，
又EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴PB∥平面ACE；
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
∴PA⊥BD；①
又底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；②
PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴BD⊥PC．