Question

如图，ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），M是BB₁的中点，N是AC的中点；
（Ⅰ）求证：BN∥平面AMC₁；
（Ⅱ）若BA=BC，求证：平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer

（Ⅰ）取AC1的中点P，连接NP，则NP为△ACC1的中位线，易证四边形MBNP为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得BN∥平面AMC1；
（Ⅱ）利用等腰三角形的性质易证MP⊥AC1，BN⊥AC；而BN∥MP，从而MP⊥AC；再利用线面垂直的判定定理即可证得MP⊥平面ACC1A1，继而得证平面AMC1⊥平面ACC1A1．
【解析】
（Ⅰ）取AC1的中点P，连接NP，则NP为△ACC1的中位线，
∴NPCC1，M是BB1的中点，连接MP，则MBNP，
∴四边形MBNP为平行四边形，
∴BN∥MP，MP⊂平面AMC1，BN⊄，
∴BN∥平面AMC1；
（Ⅱ）∵BA=BC，N是AC的中点，
∴BN⊥AC，而BN∥MP，
∴MP⊥AC，①
∵BB1⊥底面ABC，M是BB1的中点，
∴MA=MC1，又点P为AC1的中点，
∴MP⊥AC1，②
AC∩AC1=A③
∴MP⊥平面ACC1A1，
又MP⊂平面AMC1，
∴平面AMC1⊥平面ACC1A1．