Question

在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A、B、C三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分．已知某选手回答A、B、C三道题正确的概率分别为、、，且回答各题时相互之间没有影响．（Ⅰ）若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率；（Ⅱ）若此选手按A、B、C的顺序答题，求其必答题总分ξ的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥，由概率公式计算可得；（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三题均答对，分别求其概率列表可得分布列，进而可得数学期望．
【解析】
（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，
记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥
又，．
所以．
所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为．
（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三题均答对，
则，同理，，
，，
，，
所以，ξ的分布列为

ξ 100 80 70 50 30
P

所以ξ的数学期望