Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F分别是AC、BB₁、CC₁的中点，
（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）若AB=BC=AA₁=2，∠ABC=90°，求二面角A₁-BF-D的余弦值．

Answer

（1）要证AE∥平面BDF，只需在平面BDF内找到一条直线与AE平行即可，因为D为AC的中点，可思考连结CE，交BF于K，连结DK后利用三角形中位线知识证线线平行，从而得到线面平行；
（2）由已知条件证出A1D⊥平面BDF，过D作DG⊥BF于G，连A1G，则∠A1GD为所求的二面角的平面角，然后利用求解直角三角形的知识求二面角A1-BF-D的余弦值．
（1）证明：如图，连CE交BF于K，连DK，EF，
∵BE∥CF，且BE=CF，∴四边形BEFC是平行四边形，∴K为CE的中点，
又D为AC的中点，∴DK∥AE，
∵DK⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，
∴AE∥平面BDF；
（2）【解析】
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，又AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥平面ACC1A1，A1D⊂平面，∴A1D⊥BD．
由AB=BC=AA1=2，∠ABC=90°，可求得
，．
所以A1D⊥DF，又BD∩DF=D，∴A1D⊥平面BDF，
过D作DG⊥BF于G，连A1G，则∠A1GD为所求的二面角的平面角．
在Rt△BDF中，，∴
∵，∴．
∴所求的二面角的余弦值为．