Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁．

Answer

（1）设AC和BD交于点O，连接PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，知PO∥BD1，由此能够证明BD1∥面PAC．
（2）由题设条件推导出AC⊥面BDD1，由此能够证明平面PAC⊥平面BDD1．
证明：（1）设AC和BD交于点O，连接PO，
∵P，O分别是DD1，BD的中点，∴PO∥BD1，
又∵BD1⊄面PAC，PO⊂面PAC，
∴BD1∥面PAC．
（2）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，
∴底面ABCD是正方形，则AC⊥BD．
∵DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC，
∴AC⊥面BDD1，
∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD1．