Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，其公比为q，若S₃、S₉、S₆成等差数列．求
（1）q³的值；
（2）求证：a₃、a₉、a₆也成等差数列．

Answer

（1）由等比数列的定义，验证得当q=1时不符合题意，因此得q≠1．再由等比数列的求和公式，结合S3、S9、S6成等差数列建立关于q的方程，解之即可得到q3的值；
（2）根据q3=-，由等比数列的通项公式，化简可得2a9-（a3+a6）=0，即2a9=a3+a6，可得a3、a9、a6也成等差数列．
【解析】
（1）当q=1时，S3=3a1、S9=9a1、S6=6a1，
显然S3、S9、S6不能成等差数列，不符合题意，因此得q≠1      （1分）
由S3、S9、S6成等差数列，得2S9=S3+S6
即2•=+
∴化简可得2q6=1+q3，（4分）
即（2q3+1）（q3-1）=0，解之得q3=-（舍去q3=1）（6分）
（2）由等比数列的通项公式，可得
a9=a1q8，a3+a6=a1q2+a1q5，
∵q3=-
∴2a9-（a3+a6）=a1q2（2q6-1-q3）
=a1q2[2×（-）2-1-（-））=0
∴2a9=a3+a6，可得a3、a9、a6也成等差数列．（12分）