Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₁=2，a₃=18，其前 n项和为S_n；{b_n}是等差数列，b₁=2，其前n项和为T_n，若S₃=T₄．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，试比较P₁₉与Q₁₉的大小．

Answer

（1）设{an}的公比是q，{bn}的公差为d，根据题意建立关于q、d的方程并解出q=d=3，结合等差数列的通项公式，即可得到数列{bn}的通项公式；
（2）由等差数列的性质，可得b1、b4、b7、…、b3n-2组成以新的等差数列，结合等差数列求和公式算出Pn=（9n2-5n），可得P19=1577；同理可以算出Qn=3n2+26n，从而Q19=1577，得到P19与Q19的大小关系是相等．
【解析】
（1）设{an}的公比是q，{bn}的公差为d
由，可得，得an=2•3n-1        （2分）
由S3=T4，可得，得公差d=3       （4分）
∴bn=2+3（n-1）=3n-1；                     （6分）
（2）∵{bn}是等差数列，公差为d
∴b1、b4、b7、…、b3n-2，…组成以3d为公差的等差数列
∴Pn==（9n2-5n），取n=19得P19=1577            （9分）
同理可得Qn==3n2+26n，取n=19得Q19=1577       （12分）
∴P19=Q19．