Question

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）一个各项均为正数的数列{a_n}满足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求{a_n}的通项公式．

Answer

（1）利用赋值法求值．
（2）利用单调性的定义证明函数的单调性；注意应用抽象函数的相关性质．
（3）先得出和与通项的关系Sn=，（n∈N*），得出S n-1=，n≥2，两式相减，得出数列递推式，再去变形，求通项公式．
【解析】
（1）令x=y=1，得f（1）=0
而令x=2，y=，得f（1）=f（2）+f（）
∴f（）=-f（2）=-1，（4分）
（2）在（0，+∞）上任取两数x1，x2，且x1＜x2，
令=k，则f（k）＞0
∴f（x2）=f（kx1）=f（k）+f（x1）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（8分）
（3）f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1（n∈N*）
=f（an）+f（an+1）+f（）
=f[]，
由于f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴Sn=，n∈N*）
∴S n-1=，n≥2
两式相减，有=an，
整理得（an+an-1）（a n-a n-1-1）=0
∵an＞0，∴a n-a n-1-1=0，a n-a n-1=1，n≥2
所以数列{an}是公差为1的等差数列，
当n=1时，a1=S1=，a1=1
∴an=n        （14分）