Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点．证明：
（Ⅰ）PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）PB∥平面EAC．

Answer

（Ⅰ）通过证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，即可证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）连结AC，BD相交于O，则O为BD的中点，证明PB∥OE．然后证明PB∥平面EAC．
证明：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=DA=AC=a．（2分）
∵PA=AC，∴PA=AB=a，PB=a，
∴PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，（4分）
又∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．（6分）
（Ⅱ）连结AC，BD相交于O，则O为BD的中点．
∵E为PD的中点，∴PB∥OE．（8分）
又∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，（10分）
∴PB∥平面EAC．（12分）