Question

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）若G为BC的中点，求证：AE⊥PG．

Answer

（I）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，求出棱锥的高PA的长，及底面面积，代入棱锥的体积公式即可得到答案．
（II）连BP，由已知中==，∠EBA与∠BAP均为直角，我们可以得到∴△EBA∽△BAP，然后根据三角形性质，对应角相等，得到PB⊥AE，结合BC⊥AE，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．
解（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，（2分）
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，（4分）
∴VP-ABCD=PAxSABCD=×4×4×4=．（5分）
（Ⅱ）连BP，∵==，∠EBA=∠BAP=90°，（7分）
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，（8分）
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，∴PB⊥AE．（10分）
又∵BC⊥面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥面PBG，∴AE⊥PG．（12分）