Question

已知函数g（x）=-x²-3，f（x）是二次函数，当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式．

Answer

根据题意设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），再由f（x）+g（x）为奇函数求出a、c的值，再求对称轴，根据所给的区间进行分类讨论，分别求出f（x）的最小值列出方程，求出b的值．
【解析】
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f（x）+g（x）=（a-1）x2+bx+c-3，
∵f（x）+g（x）为奇函数，∴a=1，c=3
∴f（x）=x2+bx+3，对称轴x=-，
①当-＞2，即b＜-4时，f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f（x）的最小值为f（2）=4+2b+3=1，∴b=-3，∴此时无解
②当-1≤-≤2，即-4≤b≤2时，f（x）min=f（-）=3-=1，∴b=±2
∴b=-2，此时f（x）=x2-2x+3，
③当-＜-1s时，即b＞2时，f（x）在[-1，2]上为增函数，
∴f（x）的最小值为f（-1）=4-b=1，
∴b=3，∴f（x）=x2+3x+3，
综上所述，f（x）=x2-2x+3，或f（x）=x2+3x+3．