Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P在平面DD₁C₁C内，PD₁=PC₁=．求证：
（1）平面PD₁A₁⊥平面D₁A₁BC；
（2）PC₁∥平面A₁BD．

Answer

（1）证明A1D1⊥PD1，PD1⊥D1C，可得PD1⊥平面D1A1BC，利用面面垂直的判定定理，可得结论；
（2）证明PC1∥A1B，利用线面平行的判定定理，可得结论．
证明：（1）∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴A1D1⊥平面DCC1D1，
又点P在平面DD1C1C内，∴A1D1⊥PD1．
∵，且正方体的棱长为2，∴PD1⊥D1C，
又D1C∩A1D1=D1，…（2分）
∴PD1⊥平面D1A1BC，
又PD1⊂平面PD1A1，
∴平面PD1A1⊥平面D1A1BC．        …（4分）
（2）由（1）得，PC1∥D1C，又D1C∥A1B，∴PC1∥A1B．                  …（6分）
又PC1⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴PC1∥平面A1BD．                  …（8分）