Question

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=+．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）．

Answer

（I）根据二倍角公式化简函数f（x）=acos2x+sin2x+a，然后将x=0，x=代入求出a，b的值，进而由余弦函数的特点求出最小值．
（II）根据方程的根可得出sin（2α+）=sin（2β+），然后由三角函数的特点可知2α+=2kπ+π-（2β+）进而得出α+β=kπ+，即可知tan（α+β）=1，从而证明结论．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=acos2x+sin2x+a
由f（0）=2 f（）=+
得
解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1
所以f（x）min=1-，此时x=kπ+，k∈Z
（Ⅱ）α，β是方程cos（2x-）+1=0的两个根
∴sin（2α）+1=sin（2β+）+1即sin（2α+）=sin（2β+）
∴2α+=2kπ+2β+ ①或2α+=2kπ+π-（2β+）②
α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+
∴tan（α+β）=tan（kπ+）=1
∴
即sin（α+β）=cos（α+β）．