Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、Q分别为对角线BD、CD₁上的点，且．
（Ⅰ）求证PQ∥平面A₁D₁DA；
（Ⅱ）若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A₁D₁DA？请给出证明．

Answer

（Ⅰ）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，证明BC∥AD，PQ∥MD1，又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，证明PQ∥平面A1D1DA；
（Ⅱ）R是AB上的点，当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，通过证明PR∥平面A1D1DA，又PQ∩PR=P，PQ∥平面A1D1DA．然后证明即可．
（Ⅰ）证明：连结CP并延长与DA的延长线交于M点，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以，
又因为，所以，所以PQ∥MD1．
又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA．  …（6分）
（Ⅱ）当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA．
证明：因为，即有，故，所以PR∥DA．
又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∩PR=P，PQ∥平面A1D1DA．
所以平面PQR∥平面A1D1DA．…（12分）