Question

已知满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x有且只有一个．
（1）求f（x）的表达式；
（2）数列{a_n}满足：，证明：{b_n}为等比数列．
（3）在（2）的条件下，若，求证：．

Answer

（1）由f（x）=，知，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由bn+1=2bn，能够证明{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）由bn=2n，知Cn=，所以C2k+C2k+1=＜．由此能够证明Sn＜．
【解析】
（1）∵f（x）=，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
bn+1=2bn，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）∵bn=2n，
∴Cn=
∴C2k+C2k+1=＜
∴n为奇数时，Sn=C1+（C2+C3）+…+（Cn-1+Cn）＜1+
=1+=＜
n为偶数时，Sn＜Sn+1＜
综合以上，Sn＜