Question

探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	16	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数在区间（0，2）上递减；函数在区间______上递增．当x=______时，y_最小=______．
（2）证明：函数在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer

（1）利用基本不等式，可得当且仅当x=2时，函数的最小值为8．由此可得函数在（0，+∞）上的单调增区间，得到答案；
（2）设x1、x2∈（0，2）且x1＜x2，利用作差、因式分解、判断符号的方法加以证明可得f（x1）＞f（x2），结合函数单调性的定义，可得函数在（0，2）上为减函数；
（3）根据函数在（0，+∞）上的单调性与最值，结合函数在{x|x≠0}上为奇函数，即可得到当x＜0时函数有最大值为-4．
【解析】
（1）∵x＞0，∴=8
当且仅当x=2时，函数的最小值为8
由此可得函数在区间（0，2）上递减；在区间（2，+∞）上递增
故答案为：（2，+∞），2，4．…（4分）
（2）证明：设x1，x2是区间（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2，可得

=
=
∵x1＜x2且x1，x2∈（0，2），可得x1-x2＜0，x1x2-4＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
由此可得函数在（0，2）上为减函数．（10分）
（3）根据函数在{x|x≠0}上为奇函数，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下结论：
函数，当x＜0时，有最大值
当x=-2时，ymax=-4．（12分）