Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的表达式．
（2）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．

Answer

（1）待定系数法：由f（x）图象经过原点可设f（x）=ax2+bx（a≠0），由f（x-1）=f（x）+x-1得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）F（x）可化为F（x）=a2x+2ax-1，令t=ax，则F（x）可转化为关于t的二次函数，分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论，利用二次函数的单调性可得最大值，令其为14，可解得a值；
【解析】
（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax2+bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1）2+b（x-1）=ax2+bx+x-1，即ax2-（2a-b）x+a-b=ax2+（b+1）x-1，
∴．
∴．
（2）由F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a2x+2ax-1，
①当a＞1时，令t=ax，
∵x∈[-1，1]，∴，
∴g（t）=t2+2t-1=（t+1）2-2，，
∵对称轴t=-1，∴g（t）在上是增函数．
∴g（a）=a2+2a-1=14，∴a2+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，
令u=ax，∵x∈[-1，1]，∴，
∴g（u）=u2+2u-1=（u+1）2-2，，
∵对称轴u=-1，∴g（u）在上是增函数．
∴，∴（舍），∴，
综上或a=3．