Question

某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？

Answer

（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，由此能把利润表示为年产量的函数．
（2）当0≤x≤5时，，当（百台）时，ymax=10.78125（万元）；当x＞5（百台）时，y＜12-0.25×5=10.75（万元）．由此能求出年产量是多少时，工厂所得利润最大．
【解析】
（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，
由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，所以
，
整理，得，
（2）当0≤x≤5时，
，
当（百台）时，
ymax=10.78125（万元）；
当x＞5（百台）时，
y＜12-0.25×5=10.75（万元）．
综上所述，当生产475台时，工厂所得利润最大．