Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=a，E是A₁C₁的中点，F是AB中点．
（1）求证：EF∥面BB₁C₁C；
（2）求直线EF与直线CC₁所成角的正切值；
（3）设二面角E-AB-C的平面角为θ，求tanθ的值．

Answer

（1）通过面面平行⇒线面平行；
（2）根据线面垂直关系，判定直线在平面内的射影，证角符合线面角定义，再求角．
（3）可根据三垂线定理作二面角的平面角，再通过解三角形求角．
【解析】
（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，
∵EG∥CC1，CC1⊄平面EFG，∴CC1∥平面EFG，
同理：BC∥平面EFG，
又∵BC、CC1⊂平面BCC1B1，∴平面EFG∥平面BCC1B1．
（2）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴EG⊥平面ABC
∵EG∥CC1，∠FEG为直线EF与CC1所成的角
△EFG为Rt△，∴tan∠FEG===．
（3）取AF的中点H，连接GH、EH，
∵AC=BC，∴CF⊥AB，
又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，
有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，
∴∠EHG为二面角E-AB-C的平面角，
又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，，EG=CC1=a，
则．