(1)先由f(x)求得g(x),进而得到y=g(x2-2x-3),根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调增区间,注意函数的定义域;
(2)表示出不等式,利用指数函数的单调性可得|x+1|-|x-1|,按照x≤-1,-1<x≤1,x>1三种情况讨论去掉绝对值符号即可解得不等式;
【解析】
(1)由f(x)=2x,得y=g(x)=log2x,则y=g(x2-2x-3)=log2(x2-2x-3),
由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,
所以函数y=g(x2-2x-3)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),
因为y=log2u单调递增,u=x2-2x-3在(3+∞)上递增,
所以y=log2(x2-2x-3)的递增区间为(3+∞);
(2)f(|x+1|-|x-1|),即,
所以|x+1|-|x-1|,
①当x≤-1时,不等式可化为-(x+1)-(1-x)≥,即-2≥,无解;
②当-1<x≤1时,不等式可化为(x+1)-(1-x),即2x,解得x,
所以1;
③当x>1时,不等式可化为(x+1)-(x-1),即2,
所以x>1;
综上,x,即不等式f(|x+1|-|x-1|)的x的取值范围为x.