Question

已知函数f（x）=sin（π-）cos+cos²，（ω＞0）
（1）若函数y=f（x）的周期为π，将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把所得的函数图象向右平移个单位得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）解析式，并求其对称中心．
（2）若函数y=f（x）在[，π]上是减函数，求ω的取值范围．

Answer

（1）根据三角函数的恒等变换化简可得函数f（x）=sin（ωx+），由周期求得ω的值，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数g（x）的解析式，从而求得函数g（x）的对称中心．
（2）根据函数f（x）=sin（ωx+） 在[，π]上是减函数，故有 ≤ω•+ 且ω•+≤，由此解得ω的取值范围．
【解析】
（1）由于函数f（x）=sin（π-）cos+cos2=sinωx+-
=sin（ωx+），
由周期π= 可得ω=2，故f（x）=sin（2x+）．
函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，可得函数y=sin（4x+）的图象，
再把所得的函数图象向右平移个单位得到函数y=g（x）=sin[4（x-）+]
=sin（4x+）的图象．
令4x+=kπ，解得 x=-，k∈z，故g（x）的对称中心为（-，0），k∈z．
（2）由于函数f（x）=sin（ωx+） 在[，π]上是减函数，
故有 ≤ω•+ 且ω•+≤，可得 ≤ω≤，
故ω的取值范围为[，]．