Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer

求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出直线的斜率，推出AB的斜率，设出AB的方程，联立AB与圆的方程，利用x1x2+y1y2=0，求出b的值，即可求出AB的方程．
【解析】
圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的圆心坐标（1，-2），
因为在两点A、B关于直线y=kx-1对称，所以直线经过圆的圆心，
所以-2=k-1，k=-1．直线AB的斜率为：1；
设直线AB的方程为x-y+b=0；对称轴方程为：x+y-1=0，
可得2x2+2（b+2）x+b2+4b-4=0，
x1x2=，x1+x2=-b-2．
以AB为直径的圆经过原点．
x1x2+y1y2=0，2×+b2+b（-b-2）=0，解得b=-4或b=1
所以所求直线AB的方程为x-y-4=0或x-y+1=0．