Question

f（x）=-x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上单调递减，则b的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-1]
D．[-1，+∞）

Answer

求出原函数的定义域，要使原函数在定义域内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，
只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围．
【解析】
由x+2＞0，得x＞-2，所以函数f（x）=x2+bln（x+2）的定义域为（-2，+∞），
再由f（x）=x2+bln（x+2），得：=，
要使函数f（x）在其定义域内是单调减函数，则f′（x）在（-1，+∞）上恒小于等于0，
因为x+2＞0，
令g（x）=x2+2x-b，则g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0，
函数g（x）开口向上，且对称轴为x=-1，
所以只有当△=22+4×b≤0，即b≤-1时，g（x）≥0恒成立．
所以，使函数f（x）在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为：C