Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+1．
（1）写出a₂，a₃，a₄．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）通过a1=1，an+1=an+1．利用n=2，3，4，即可求出a2，a3，a4．
（2）解法一：通过（1）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明；
解法二：构造{bn}是以b1=-1，为公比的等比数列，求出bn然后求数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）因为，
所以，
，
．-------------------（3分）
（2）解法一：猜想：．下面用数学归纳法证明，
证明：（1）当n=1时，，满足上式，显然成立；-------------------（4分）
（2）假设当n=k时，那么当n=k+1时，满足上式，
即当n=k+1时猜想也成立．-------------------（7分）
由（1）（2）可知，对于n∈n*都有．------------------（8分）
解法二：因为，所以，即，-------（4分）
设bn=an-2，则，即{bn}是以b1=-1，为公比的等比数列，
所以，------------------（7分）       
 所以．-----------------（8分）