Question

已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R．证明下面两个命题：
（1）若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
（2）若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），则a+b＞0．

Answer

（1）直接利用a+b＞0，化为a＞-b，b＞-a，利用增函数以及不等式的性质即可证明f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
（2）通过f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），假设a+b≤0，则a≤-b，b≤-a，推出f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）得到矛盾，推出结果．
证明：（1）证明：因为a+b＞0，所以a＞-b，b＞-a，---------------------（2分）
又因为f（x）是R上的增函数，所以f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-a），---------------------（4分）
由不等式的性质可知f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．---------------------（5分）
（2）假设a+b≤0，则a≤-b，b≤-a，---------------------（6分）
因为f（x）是R上的增函数，所以f（a）≤f（-b），f（b）≤f（-a），
所以f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），---------------------（8分）
这与已知f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立．---------------------（10分）