Question

已知函数f（x）=mx³+2nx²-12x的减区间是（-2，2）．
（1）试求m、n的值；
（2）求过点A（1，-11）且与曲线y=f（x）相切的切线方程；
（3）过点A（1，t）是否存在与曲线y=f（x）相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）函数f（x）单调减区间即为f'（x）＜0的解集，利用根与系数的关系求出m与n的值即可；
（2）当A为切点时，利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，化成一般式即可，当A不为切点时，设切点为P（x，f（x）），这时切线的斜率是k=f'（x），将点A（1，-11）代入得到关于x的方程，即可求出切点坐标，最后求出切线方程；
（3）存在满足条件的三条切线．设点P（x，f（x））是曲线f（x）=x3-12x的切点，写出在P点处的切线的方程为y-f（x）=f'（x）（x-x）将点A（1，t）代入，将t分离出来，根据有三条切线，所以方程应有3个实根，设g（x）=2x3-3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即可．建立不等关系解之即可．
【解析】
（1）由题意知：f'（x）=3mx2+4nx-12＜0的解集为（-2，2），
所以，-2和2为方程3mx2+4nx-12=0的根，（2分）
由韦达定理知，即m=1，n=0．（4分）
（2）∵f（x）=x3-12x，∴f'（x）=3x2-12，∵f（1）=13-12•1=-11
当A为切点时，切线的斜率k=f'（1）=3-12=-9，
∴切线为y+11=-9（x-1），即9x+y+2=0；（6分）
当A不为切点时，设切点为P（x，f（x）），这时切线的斜率是k=f'（x）=3x2-12，
切线方程为y-f（x）=f'（x）（x-x），即y=3（x2-4）x-2x3
因为过点A（1，-11），-11=3（x2-4）-2x3，∴2x3-3x2+1=0，（x-1）2（2x+1）=0，
∴x=1或，而x=1为A点，即另一个切点为，
∴，
切线方程为，即45x+4y-1=0（8分）
所以，过点A（1，-11）的切线为9x+y+2=0或45x+4y-1=0．（9分）
（3）存在满足条件的三条切线．（10分）
设点P（x，f（x））是曲线f（x）=x3-12x的切点，
则在P点处的切线的方程为y-f（x）=f'（x）（x-x）即y=3（x2-4）x-2x3
因为其过点A（1，t），所以，t=3（x2-4）-2x3=-2x3+3x2-12，
由于有三条切线，所以方程应有3个实根，（11分）
设g（x）=2x3-3x2+t+12，只要使曲线有3个零点即可．
设g'（x）=6x2-6x=0，∴x=0或x=1分别为g（x）的极值点，
当x∈（-∞，0）和（1，+∞）时g'（x）＞0，g（x）在（-∞，0）和（1，+∞）上单增，
当x∈（0，1）时g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单减，
所以，x=0为极大值点，x=1为极小值点．
所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，
解得-12＜t＜-11．（14分）